数学系2005级《解析几何》期末考试试卷（A）

评 分 标 准

一、 填空题（每题3分，共24分）

1、；；

2、24

3、

4、

5、

6、；；锥面。

7、两；；。

8、单叶双曲面。

二、判断题（每题3分，共15分）

1、√；2、×；3、×；4、×；5、√。

三、证明题（第1、2题各10分，第三题11分，共31分）

1、证明：如图，设四面体ABCD的一组对边AB，CD之中点分别为E、F，为EF之中点，其余二组对边中点连线的中点分别为 ，，取不共面，，

连接AF， 因为A是的中线，所以有

（2分）

又因为AF是的中线，所以又有

（3分）

而 （4分）

从而得 = （6分）

同理可得

（8分）

所以

从而知三点，，重合，命题得证。 （10分）

2、充分性：若，只须证为某一中线的处点。

由，得

———— 5分

所以为中线的分点处，故为重心。———— 6分

必要性：若为之重心，则

==

同理，，———— 8分

于是———— 10分

3、(1)证：令，，那么由已知条件得

，， ——— 2分

于是有

= ————4分

把，的坐标代入上式得

————5分

（2）解：设动点为，两定点，且，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则坐标分别为，依题意知 ————3分

即 ————5分

化简得

————6分

四、 计算题（每题10分，共30分）

1、 解：设所求平面方程为：

（3分）

即

（4分）

依题又知所求平面平行于x轴 （5分）

所以

（6分）

解之得 ∶∶ （8分）

于是所求平面方程为：

（10分）

2、解：因所求直线过点，所以可设它的方程为 （2分）

又由于此直线垂直于已知直线，故

（1） （3分）

又所求直线与已知直线相交，因此它们一定共面，即这两直线的方向矢量与矢量=共面，其中为直线上的定点（1，-1，0），所以有

（2） （8分）

联立（1）、（2）解之得 X∶Y∶Z= -4∶13∶5 （9分）

于是所求垂线方程为：

（10分）

3、解：设是母线上任一点，则过该点的纬圆方程为：

（5分）

又

（6分）

从以上四式消去的所求曲面方程为：

（10分）