楚 雄 师 范 学 院

2006—2007学年 上 学期期末考试卷 A卷

课程《解析几何》 评分标准

一、判断题（10分）：1、×。 2、√。 3、×。 4、×。 5、√。

二、填空题（32分）：

1、， ， 。

2、。

3、， 。

4、， 球心在原点，半径为的球面。

5、。

6、母线平行于轴的椭圆柱面； 母线平行于轴的抛物柱面； 母线平行于轴的双曲柱面。

7、顶点在原点的圆锥面。 和。

8、面、面与轴对称。

三、计算题（第1题8分，其余小题各 10 分，共38分）：

1、解 因为方程组解的情况决定直线和平面的位置关系。

将直线代入平面得

， 5分

所以直线和平面相交的充要条件为；

直线和平面平行的充要条件为；

直线和平面重合的充要条件为。

8分

2、设一直线通过点(1，3，5 )且与轴相交，又与平面平行，求这直线方程。

解 法1：设所求直线方程为， （1） 2分

因为它与轴相交，所以交点满足（1）得，

即， （2） 6分

又直线与平面平行，

所以， （3） 8分

（2）代入（3）得，所以，

所以所求直线方程为。 10 分

法2：所求直线看成过轴与点(1，3，5 )的平面与过点与已知平面平行的平面的交线，即

3、求通过直线且与直线平行的平面方程。

解 已知直线的方向矢分别为，。 4分

，由已知得所求平面的法矢为， 8分

又平面过点，

由点法式得所求平面方程为 。 10分

4、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解 由已知得，母线的方向为，

所以过准线上的点的母线为。 2分

且有 （1）

再设， （2） 4分

由（1），（2）得， 6分

得所求柱面的方程为

。 10分

四、证明题与综合题（20分）

1、用矢量法证明三角形的正弦定理。

证 在中，设且

则， 3分

于是有，

，

由上两式得， 6分

从而，

所以， 8分

即，

于是。 10分

2、在空间，求到两定点距离之比等于常数的点的轨迹。

解 取两定点的连线为轴，两定点连线段的中点为原点，并设两定点间的距离为

，常数，建立直角坐标系， 3分

则两定点的坐标为，。 5分

设为轨迹上的任意点，则，

即。 7分

化简得所求轨迹方程为：

。 10分