楚雄师范学院数学系数学与应用数学专业、信息与计算科学专业《解析几何》课程教学大纲
一、课程基本信息
课程代码：0311922010
课程中文名称：解析几何
课程英文名称：ANALYTIC
GEOMETRY
课程类别：专业必修课
使用专业：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业
开课学期：第一学期
总学时：60学时（理论课50学时十习题课10学时）
总学分：3
预修课程：无
并修课程：数学分析
课程简介：
《解析几何》是数学系数学与应用数学专业及信息与计算科学专业的专业基础必修课程。课程系统讲授了解析几何的基本概念、基本理论和分析方法，主要内容包括：向量代数、平面曲线、空间直线和平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面、二次曲线的一般理论。
教材建议：吕林根、许子道编，《解析几何》（第4版），北京：高等教育出版社，2006年。
参考书：
[1] 周建伟, 解析几何, 北京：高等教育出版社，2005.
[2] 宋卫东, 解析几何, 北京：高等教育出版社，2003.
[3] 丘维声, 解析几何, 北京：北京大学出版社，1988.
[4] 杨文茂、李全英, 空间解析几何, 武汉：武汉大学出版社，1997.
[5] 朱鼎勋、陈绍菱, 空间解析几何（第二版）, 北京：北京师范大学出版社，1984.
[6] 郑崇友、王汇淳、侯忠义、王智秋, 几何学引论, 北京：高等教育出版社，2003.
[7] 王向东、韩普宪、马合成, 解析几何常用方法, 重庆大学出版社，1994.
[8] 吴光磊、田畴, 解析几何简明教程, 北京：高等教育出版社，2003.
[9] 杨文茂、李全英, 空间解析几何习题集, 武汉：武汉大学出版社，2003.
[10] 刘德全, 解析几何规范化测试, 成都：电子科技大学出版社， 1996.
[11] 吕林根等编, 解析几何学习指导书, 高等教育出版社，1999.
[12] 杨存斌、孙久茀,解析几何, 北京：北京师范大学出版社,1987.
二、课程性质、目的及总体教学要求
课程的基本特性：
《解析几何》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门重要的专业主干课程。本课程的主要内容是平面曲线、空间中的直线、平面和二次曲面等图形的性质，处理问题的基本工具是向量法和坐标法，该课程的基本思想是用代数的方法研究几何问题。
课程的教学目标：
使学生系统地掌握解析几何的基本知识和基本理论；正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时,提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象力以及画图能力,逻辑推理能力。培养学生用联系、运动、变化的观点考虑问题的习惯，为今后学习其他后续课程打下必要的基础，并能在较高的理论水平基础上来处理中学解析几何教材。
课程的总体教学要求：
（1）对空间的直线和平面，对曲面特别是常见的二次曲面的空间位置、形状有清晰的认识，对于向量法和坐标法能运用自如，从而达到数与形的统一。
（2）具备空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。
三、章节教学内容与要求
第一章 向量与坐标（19学时）
1、本章的内容、地位与作用分析，重点难点、总的教学要求与说明：
主要内容、地位与作用分析：
向量的概念；向量的线性运算；向量的线性关系与分解；标架与坐标；两向量的乘法；三向量的混合积。
向量代数是解析几何的基本内容和基础，通过向量将代数运算引入到几何中来，将空间的几何结构代数化，并通过向量引进坐标系，向量的运算就转化成我们熟悉的数的运算。本章介绍了向量的基本知识，讲述了向量的定义及方法；介绍了向量的线性关系与向量的分解，然后用不共线三向量建立标架，引出空间的坐标系；研究了向量的数量积、向量积和混合积。向量法与坐标法是解析几何的基本方法,本章通过向量与坐标基本知识的教学,使学生能利用向量与坐标法解决某些几何问题。
重点、难点：
重点是向量的概念和向量的数量积，向量积，混合积，难点是向量的线性关系与向量的分解、向量数性积，向量积与混合积的几何意义。
总的教学要求：
（1）理解向量的有关概念，掌握向量线性运算的法则及运算规律。
（2）理解向量的线性关系和向量的分解的有关概念。
（3）掌握空间直角坐标系的构成。理解向量与点的坐标的定义，并能灵活运用坐标进行向量的线性运算。
（4）理解向量的数量积、向量积和混合积的意义，理解它们的几何性质并掌握其运算规律。
（5）掌握用向量法解几何题的一些基本思路和方法，能灵活运用它们解决一些几何、代数、三角问题及日常生活中的问题。
2、各节内容的教学要求：
第一节 向量的概念（1学时）
（1）理解向量的定义和表示法。
（2）理解特殊向量的性质与特点。
（3）掌握共线向量与共面向量的性质与特点。
第二节 向量的加法（2学时）
（1）掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则。
（2）了解平行四边形两条对角线的几何意义。
（3）掌握向量加法的运算规律。
（4）理解用向量法解几何题的一些基本思路。
第三节 数量乘向量（2学时）
（1）理解数乘运算的定义。
（2）掌握数乘的运算规律。
（3）掌握用向量法解几何题的一些基本思路和方法。
第四节 向量的线性关系与向量的分解（4学时）
（1）理解向量的线性组合的定义。
（2）理解向量的线性相关的定义。
（3）理解线性组合与线性相关两个概念的区别与联系。
（4）掌握用线性组合和线性相关表达两向量共线及三向量共面的充要条件。
（5）掌握用向量法解几何题的一些基本思路和方法。
第五节 标架与坐标（2学时）
（1）掌握用向量法构造空间标架的过程及坐标系的形成过程。
（2）理解向量与点的坐标的定义。
（3）掌握怎样用坐标进行向量的线性运算。
（4）掌握用坐标表示两向量共线及三向量共面的条件。
第六节 向量在轴上的射影（2学时）
（1）理解向量在轴上的射影向量与射影的定义及相互关系。
（2）掌握求射影的公式。
第七节 两向量的数量积（2学时）
（1）掌握两向量的数量积的定义及运算规律。
（2）掌握两向量互相垂直的充要条件。
（3）掌握在直角坐标系下，用向量的坐标表示数量积的结果。
（4）掌握用数量积解题的一些基本思路和方法。
第八节 两向量的向量积（2学时）
（1）掌握两向量的向量积的定义及运算规律。
（2）掌握两向量共线的充要条件。
（3）掌握向量积的几何意义并能灵活运用于解题过程。
（4）掌握在直角坐标系下，用矢量的坐标表示向量积的结果。
第九节 三向量的混合积（2学时）
（1）掌握三向量的混合积的定义及运算规律。
（2）掌握三向量共面的充要条件。
（3）掌握混合积的几何意义并能灵活运用于解题过程。
（4）掌握在直角坐标系下，用矢量的坐标表示混合积的结果。
第二章 轨迹与方程（7学时）
1、本章的内容、地位与作用分析，重点难点、总的教学要求与说明：
主要内容、地位与作用分析：
平面曲线的方程；曲面的方程；空间曲线的方程。
在平面或空间取定了标架后，建立作为点的轨迹的曲线、曲面与其方程之间的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究其方程的代数问题。通过对圆的渐开线，摆线和旋轮线等几个典型例子的学习，掌握用向量法求平面曲线参数方程的一般方法，在此基础上，学习如何使一些较复杂的空间轨迹问题向平面问题转化。本章通过图形与方程对应关系的学习,使学生能运用坐标法建立图形的方程,并掌握一般规律，培养抽象思维的能力。
重点、难点：
重点是曲面和空间曲线的方程求法，难点是用向量法建立平面曲线，空间曲面和空间曲线的参数方程。
总的教学要求：
（1）理解平面曲线方程的意义，并能根据已知条件用向量法建立起曲线的参数方程或一般方程，能根据条件画出规范的图形帮助解题。
（2）掌握一些平面曲线参数方程与普通方程的互化。
（3）理解空间曲面方程的意义，并能根据已知条件建立起曲面的参数方程或一般方程，了解曲面的形状。了解球坐标系和柱坐标系。
（4）理解空间曲线一般方程的定义和形式。掌握求一些常见的空间曲线的参数方程的方法。
2、各节内容的教学要求：
第一节 平面曲线的方程（3学时）
（1）理解平面曲线方程的定义。
（2）掌握用向量法建立平面曲线的普通方程和参数方程的一般方法与步骤。
（3）理解几种重要的平面曲线的生成规律。
（4）掌握一些平面曲线的普遍方程与参数方程的互化。
第二节 曲面的方程（2学时）
（1）理解空间曲面方程的定义。
（2）掌握用向量法建立空间曲面的普通方程和参数方程的一般方法与步骤。
（3）了解球坐标系和柱坐标系。
第三节 空间曲线的方程（2学时）
（1）理解空间曲线的一般方程的定义和形式。
（2）掌握求空间曲线的参数方程的一般方法。
第三章 平面与空间直线（15学时）
1、本章的内容、地位与作用分析，重点难点、总的教学要求与说明：
主要内容、地位与作用分析：
平面的方程；平面与点的相关位置，两平面的相关位置；空间直线的方程；直线与平面的相关位置；空间两直线的相关位置；空间直线与点的相关位置；平面束。
平面和直线是最简单的几何图形,又是空间解析几何的重要内容。本章充分以向量和坐标作为工具,研究平面和空间直线方程的各种形式和形式的转换以及点、平面、直线间的位置关系。培养学生“数形结合”的能力,训练思维的多向性,为研究复杂的几何图形打下基础。
重点、难点：
重点是平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置，难点是平面与空间直线各种形式方程的互化。
总的教学要求：
（1）能灵活运用已知条件，求出适合条件的平面方程，并能进行方程的各种形式的互化。
（2）理解空间直角坐标系下平面的一般方程的意义，了解各种形式的平面方程中常数或参数的几何意义。
（3）能灵活运用已知条件，求出适合条件的直线方程，并能进行方程的各种形式的互化。
（4）理解空间直角坐标系下直线的一般方程的意义，了解各种形式的直线方程中常数或参数的几何意义。
（5）能灵活运用平面和直线的方程及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离与交角。
（6）理解有轴平面束和平行平面束的概念，能灵活运用它们的一般方程解题。
（7）掌握一些常见的空间中平面的图形的画法。
2、各节内容的教学要求：
第一节 平面的方程（3学时）
（1）掌握平面的点位式方程和点法式方程的决定条件和求解过程。
（2）掌握平面的一般方程形式，理解在直角坐标系下，一般方程中一次项系数的几何意义。
（3）掌握特殊平面的一般方程的特征。
（4）掌握平面的一般方程化为法式方程的步骤，理解法式方程中系数和常数项的几何意义。
第二节 平面与点的相关位置（1学时）
（1）掌握空间平面与点的相关位置情形。
（2）掌握用向量法定义点到平面的距离的条件和公式。
（3）了解三元一次不等式的几何意义。
第三节 两平面的相关位置（1学时）
（1）掌握空间两个平面的相关位置情形和判定条件。
（2）掌握求两平面的交角的方法。
第四节 空间直线的方程（4学时）
（1）掌握根据条件求直线的参数式、标准式和一般式方程的求解过程。
（2）理解在直角坐标系下，直线的各种形式的方程中系数或参数的几何意义。
（3）掌握直线的标准方程和一般方程的互化方法。
第五节 直线与平面的相关位置（1学时）
（1）掌握空间直线与平面的相关位置情形和判定条件。
（2）掌握求直线与平面的交角的方法。
第六节 空间直线与点的相关位置（1学时）
（1）掌握空间直线与点的相关位置情形。
（2）掌握求点到直线的距离的方法。
第七节 空间两直线的相关位置（2学时）
（1）掌握空间两直线的相关位置情形和判定条件。
（2）掌握两异面直线间的距离与公垂线方程的求法。
（3）掌握求两直线的交角的方法。
第八节 平面束（2学时）
（1）理解有轴平面束和平行束平面的定义。
（2）掌握用平面束的一般方程解题的一般方法与步骤。
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（13学时）
1、本章的内容、地位与作用分析，重点难点、总的教学要求与说明：
主要内容、地位与作用分析：
柱面；锥面；旋转曲面；椭球面；双曲面；抛物面；直纹面。
本章先介绍了几种具有明显几何特征的特殊曲面，即柱面、锥面和旋转曲面，并从图形出发，去讨论曲面的方程。然后介绍了几种方程具有简单形式的二次曲面，并从曲面的对称性、曲面的顶点和轴及存在范围、曲面被坐标面所截得的曲线和被坐标面的平行平面所截得的曲线等五个方面的讨论中推想、判断方程所表示的曲面的大致形状，最后讨论了单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性。在教学中要充分利用直观的图形和教具作演示，这样有利于学生直接观察到图形的变化及在变化过程中的相互关系。
重点、难点：
重点是柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程求法；椭球面、双曲面、抛物面方程的讨论，图形性质和形状的画法。难点是根据二次曲面的方程和性质画出其图形。
总的教学要求：
（1）掌握求柱面、锥面、旋转曲面方程的常规方法与步骤。
（2）了解母线平行于坐标轴的柱面方程的特征，掌握由方程画出柱面的图形的方法。掌握空间曲线的射影柱面的求法。
（3）掌握圆柱面与圆锥面方程的特殊求法。掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程的求法，并能从方程认识曲面的大致形状。
（4）掌握讨论二次曲面的一般方法，能灵活运用平面截割法来推断空间曲面的形状。
（5）掌握椭球面，双曲面与抛物面的标准方程与主要性质，并能根据这些曲面的标准方程画出它们的图形。
（6）了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性，并掌握求直母线的方法。
（7）掌握一些常见的二次曲面的图形的画法。
2、各节内容的教学要求：
第一节 柱面（3学时）
（1）理解柱面的生成规律。
（2）掌握柱面方程的常规求法与主要步骤。
（3）掌握圆柱面方程的特殊求法。
（4）掌握母线平行于坐标轴的柱面方程的特征。
（5）掌握常见的柱面的画法和空间曲线的射影柱面的求法。
第二节 锥面（2学时）
（1）理解锥面的生成规律。
（2）掌握锥面方程的常规求法与主要步骤。
（3）掌握圆锥面方程的特殊求法。
第三节 旋转曲面（2学时）
（1）理解旋转曲面的生成规律。
（2）掌握旋转曲面方程的常规求法与主要步骤。
（3）掌握求特殊旋转曲面方程的条件与方法。
第四节 椭球面（2学时）
（1）掌握从方程讨论二次曲面的几何性质的一般方法。
（2）掌握用平行截割法来推断曲面形状的一般步骤。
（3）掌握椭球面的标准方程与主要性质。
（4）灵活运用椭球面的性质画出图形。
第五节 双曲面（2学时）
（1）掌握单叶双曲面的标准方程与主要性质。
（2）灵活运用单叶双曲面的性质画出图形。
（3）掌握双叶双曲面的标准方程与主要性质。
（4）灵活运用双叶双曲面的性质画出图形。
第六节 抛物面（2学时）
（1）掌握椭圆抛物面的标准方程与主要性质。
（2）灵活运用椭圆抛物面的性质画出图形。
（3）掌握双曲抛物面的标准方程与主要性质。
（4）灵活运用双曲抛物面的性质画出图形。
（5）了解由空间几个曲面围成的立体图形的基本画法。
第七节 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线（自学）
（1）了解直纹曲面的特点。
（2）掌握求单叶双曲面与双曲抛物面的直母线方程的方法。
第五章 二次曲线的一般理论（6学时）
1、本章的内容、地位与作用分析，重点难点、总的教学要求与说明：
主要内容、地位与作用分析：
二次曲线与直线的相关位置；二次曲线的渐近方向、中心、渐近线；二次曲线的切线；二次曲线方程的化简与分类。
由于教学时数的限制，本章只讲授主要内容，本章内容应属于平面解析几何的内容，是作为一个中学数学教师必不可少的基本知识，因为只有全面掌握一般二次曲线方程的图形和性质才能处理好初等数学中关于圆锥曲线这一部分内容，因此在学习过程中，要学生引起重视。另外，这一章的学习对于进一步学习高等代数、高等几何、微分几何等课程也是完全必要的，只有先讨论了一般二次曲线方程，才能顺利的讨论一般二次曲面方程。通过本章内容的学习即可为学习高等代数提供一个直接应用的场所，又为将来学习高等几何和微分几何提供必不可少的基础知识。
重点、难点：
重点是二次曲线由渐近方向、中心、标准方程得出的不同分类方法；二次曲线方程的化简、分类与作图。难点是移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的作用。
总的教学要求：
（1）了解复平面的特征。
（2）掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线概念及求法。
（3）理解移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标变换在化简二次曲线方程中所起的作用。
（4）掌握判别二元二次方程所表示的曲线的类型和化简二次曲线方程的方法，并写出相应变换关系式，作出其图形。
2、各节内容的教学要求：
第一节 二次曲线与直线的相关位置（2学时）
（1）了解复平面的特征。
（2）理解二次曲线方程中的有关记号。
（3）掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。
第二节 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线（2学时）
（1）理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念。
（2）掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法。
（3）掌握根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类的方法。
第三节 二次曲线的切线（自学）
（1）理解二次曲线的切线及奇异点和正常点概念。
（2）掌握求二次曲线的切线方程的方法。
第六节 二次曲线方程的化简与分类（2学时）
（1）理解平面直角坐标变换(移轴变换和转轴变换)概念。
（2）理解移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的作用。
（3）掌握二次曲线方程的化简和作图方法。
（4）掌握根据化简的标准方程对二次曲线进行分类的方法。
四、习题教学内容与要求
安排10学时左右的习题课，每次课后布置适量作业题和思考题。主要讲授各章节习题中难度较大的习题和巩固知识的变式练习。以课堂讲授为主，结合课堂提问和课堂讨论进行教学，注重启发式、探究式等教学方法，同时对适合的内容以多媒体辅助教学。教师要通过这些习题的教学，总结出同类习题的问题特征和解题的一般思路及通用方法，并在习题课上评析学生在作业中出现的突出问题，并通过分析解题思路、一题多解等途径帮助学生理解和掌握数、形结合的思想方法。充分挖掘数学思维方法，以提高学生创造性思维能力。重点、难点突出，针对性强，使繁杂的内容简单化。提高学生运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象力以及画图能力,逻辑推理能力。
五、其他可以利用的资源（宋体五号 粗体）
1）http://xdjy.cxtc.edu.cn/
┄┄本课程的全部教案、讲义、课件等。
2）相关网址
[1]高等理工教学资源网，网址为http://www.hep-st.com.cn
[2]中国高校数学课程网：网址为http://math.cncourse.com
执笔人：袁丽晴 审定人：陈萍 数学系教研室主任（签字）：姚晓霞
填报日期：2007年8月
数学系
2007年8月修订