第二章   轨迹与方程（7学时）

第2.1节  平面曲线的方程（3学时）

一、教学要求：

（1）理解平面曲线方程的定义。

（2）掌握用矢量法建立平面曲线的普通方程和参数方程的一般方法与步骤。

（3）理解几种重要的平面曲线的生成规律。

（4）掌握一些平面曲线的普遍方程与参数方程的互化。

二、讲授内容

1）、前言 取定标架后 平面上的点

空间的点

平面（空间）曲线

空间曲面           具有某种（提炼）特征的动点轨迹（点集）

 

→建立方程（关键词：特征、特殊性质、方程）（讨论几何问题转为研究代数方程）

2)、曲线上点的特征性质：①曲线上的点都具有该性质（纯粹性）；②具有这种性质的点都在曲线上（完备性）。即点在曲线上的充要条件。

3）、曲线的方程：反映为曲线上动点坐标、之间的相互制约关系，用方程表示   （定义2.1.1）

例1 求圆心在原点、半径为的圆的方程

解：设为圆上任一点，则它满足的特征性质是 （1）

例2 已知两点和，求满足条件的动点的轨迹方程。

解：在轨迹上的是

再平方，整理得    ④

方程（2）与（3）同解，而（4）与（3）只有附加了条件后才同解，故（4）是点的轨迹方程。

4）、曲线的参数方程：曲线上点的运动规律，当不能或难以直接反映为之间的直接相关关系，或为了某种研究的要求时，需借助于辅助变量（参数）来间接建立 间的关系。结合向量法描述为（变化）→动点的向径随动→点随动→点画出曲线（反之也成立）。

即有 取标架有，向量式参数方程。

  坐标式参数方程    （看P69定义2）

消参数得一般方程（可见求动点轨迹，用向量法即是求动点向径关于基矢的分解式），但较简单的例外）

作业：P80 1、2、3

6）、复习题P35有向角与P46平面上向量方向角与方向余弦表达式

例3（摆线、旋轮线）一圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一点P的轨迹。

解：以直线为轴，动圆与直线最初的切点为原点建立坐标系。设动圆半径为，动点的起始位置就在O处，经过一段时间后，切点为点，圆心到达点，则

 且

设于是而

故

所以  向量式参数方程

（非向量证法以见课本）

取时，消参数，得点在时的一段普通方程，             

                   

例4（内旋轮线）已知大圆半径为，小圆半径为，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，求动圆周上某一定点P的轨迹。

解：设运动开始时，动点P与两圆切点重合，取大圆心O为原点，为轴建立坐标系，经过某一个过程后，两圆切于点，动圆心到点，则在上。

  设

则又设,因为所以

   而

故

特殊地，时，曲线方程为四尖点星形式

        

例5（圆的渐开线，切展线）把线绕在一个固定圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转以把线从圆周上解开，放出来的线成为圆的切线，求线头的轨迹。

解：设圆半径为，线点的起始位置为点，以圆心O为原点，OA为轴建立坐标系，经过一段时间后，切点移至点，为切线。

，设，则而

7）曲线的参数方程与普通方程的互化，消去曲线参数方程中的参数即得普通方程，而适当选取参数，找出，再代回原方程求即得参数方程。

互化时要注意两种不同形式的方程应该等价，如，，由于，消参数后方程应加条件而的两种参数方程，前一种因不等价

   

作业    P81  9  10  

 

 

第二节  曲面的方程（2学时）

一、教学要求：

（1）理解空间曲面方程的定义。

（2）掌握用矢量法建立空间曲面的普通方程和参数方程的一般方法与步骤。

（3）了解几种常见的空间曲面的形状和画法。

二、讲授内容

1）、曲面的一般方程：建立空间标架后曲面看成具有某种特征性质的点轨迹用动点坐标、与间的关系式（方程），（1）或（1′）表达。

定义2.2.1。若一个方程（1）或（1′）与一个曲面有关系①满足（1）或（1′）的）是曲面上的点的坐标。②上任一点的坐标）满足方程（1）或（1′），则（1）或（1′）叫的方程, 叫（1）或（1′）的图形。曲面的方程有时是虚曲面一个实点，或一曲线（包括直线）。

例1  求连接两点和的线段的垂直平分面方程。

解：   

例2 求两坐标面和所成二面角的平分面方程 

解：

（任一点与它到各坐标面的射影点的坐标间的关系）

例3 求：坐标平面的方程。（）

例4   一平面平行于坐标面，且在轴的正向一侧与平面相距为，求它的方程，，分析同例2）。

例5  设球面的中心是点，且半径为，求它的方程。

解：球面方程为  展开后有：

因此球面方程是一个三元二次方程，它的平方项相等，交叉项消失，反之，如果三元二次方程。

当时，方程可化为

   （2、2 —3）的形式，配方得

若，上式表实球面；若小于零，无实图形；若等于零，表空间一点（点球）。

2）、曲面的参数方程；平面曲线的参数方程，是以单参数的矢函数定义的，空间曲面的参数方程与平面曲线参数方程类似，设在两变数的变动区域内定义双参数矢函数。

 或   

（、变动→动点M的向径动→M点随、动→M点画出曲面）

取遍区域的一切值时，向径的终点所画的轨迹，一般为一张曲面。

定义2.2.2（课本），即点（与参数有关）在曲面上应满足的充要条件。

例6 求中心在原点，半径为的球面的参数方程。

解：设是所求球面任一点，作面于，（向平面转化），则在