第三章 平面与空间直线（14学时）

第3.节 平面的方程（3学时）

一、教学要求：

（1）掌握平面的点位式方程和点法式方程的决定条件和求解过程。

（2）掌握平面的一般方程形式，理解在直角坐标系下，一般方程中一次项系数的几何意义。

（3）掌握特殊平面的一般方程的特征。

（4）掌握平面的一般方程化为法式方程的步骤，理解法式方程中系数和常数项的几何意义。

二、讲授内容：

1、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面方程

在空间给定了一点与两个不共线的矢量、，那么通过点且与矢量、平行的平面就唯一地被确定，矢量、叫做平面的方位矢量，显然任何一对与平面平行的不共线矢量都可以作为平面的方位矢量。

在空间，取标架,

并设点的径矢,平面上的任意一点的径矢为（图3-1），显然点在平面上的充要条件为矢量与、共面，因为、不共线，所以这个共面的条件可以写成：

又因为所以上式可改写为：

即

（3.1-1）

方程（3.1-1）叫做平面的矢量式参数方程，其中为参数。

如果设点的坐标分别为，那么

并设

那么由（3.1-1）得

（3.1-2）叫做平面的坐标式参数方程，其中为参数。

从（3.1-1）或两边与作数性积，消去参数得

从（3.1-2）消去参数得

（3.1-1），（3.1-2），（3.1-3），（3.1-4）都叫做平面的点位式方程。

例1，已知不共线三点，，，求通过三点的平面的方程。

解 取平面的方位矢量，并设点为平面上的任意一点（图3-2），那么

因此平面的矢量式参数方程为：

（3.1-5）

坐标式参数方程为：

从（3.1-5）与（3.1-6）分别消去参数得

与 ； （3.1-7）

（3.1-8）又可改写为

方程（3.1-8）——（3.1-8’） 都叫做平面的三点式方程。

作为三点式的特点的特别，如果已知三点为平面与三坐标轴的交点

（图3-3），那么由（3.1-8）得

把它展开可写成

由于，上式可改写为

（3.1-9）叫做平面的截正距式方程，其中分别叫做平面在三坐标轴的截距。

2、平面的一般方程

因为空间任一平面都可以用它上面的一点和它的方位矢量确定，因而任一平面都可以用方程（3.1-4）表示，把（3.1-4）展开就可写成：

其中

因为不共线，所以不全为零，这表明空间任一平面都可以用关于的三元一次方程来表示。

反过来，也可证明，任一关于变元的一次方程（3.1-10）都表示一个平面。事实上，因不全为零，不失一般性，可设，那么（3.1-10）可改写成

即

显然，它表示由点和两个不共线矢量和所以决定的平面，因此我们证明了关于空间中平面的基本定理：

定理3.1.1空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数的一次方程；反过来，每一个关于变数的一次方程都表示一个平面。

方程（3.1-10）叫做平面的一般方程。

现在来讨论（3.1-10）的几种特殊情况，也就是（3.1-10）中的某些系数或常数项等于零时，平面对坐标系来说具有某特殊些特殊位置的情况。

（3.1-10）变为此时原点满足方程，因此平面通过原点，反过来，如果平面（3.1-10）通过原点，那么显然有。

中有一为零，例如，（3.1-10）就变

，

当时，轴上的任意点都不满足方程，所以平面与轴平行；而当时，轴上的每一点都满足方程，这时轴在平面上，即平面通过轴，反过来容易知道，当平面（3.1-10）通过轴时，。

对于，或的情况，可以得出类似的结论。

因此，由与我们有：

当且仅当，平面（3.1-10）通过原点。