第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（12学时）

第4.1节 柱面（3学时）

一、教学要求：

（1）理解柱面的生成规律。

（2）掌握柱面方程的常规求法与主要步骤。

（3）掌握圆柱面方程的特殊求法。

（4）掌握母线平行于坐标轴的柱面方程的特征

（5）掌握常见的柱面的画法和空间曲线的射影柱面的求法。

二、讲授内容：

复习曲面方程的概念

类似乎面解析几何中的曲线一样、在空间解析几何中，一个曲面可看成是具有某种几何性质的点的轨迹．

定义 如果有一个曲面S和一个三元方程F(x, y, z)＝0，它们满足下面两个条件：

曲面身上任一点的坐标都满足方程 F(x, y, z)＝0；

不在S上的任一点的坐标都不满足方程F(x, y, z)＝0。

那么，曲面S就称为方程F(x, y, z)＝0的图形，而方程F(x, y, z)＝0称为曲面S的方程．

空间解析几何研究的基本问题是：

已知曲面S上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程；

已知曲面的方程，研究曲面的几何形状．

柱面具有较为突出的几何性质,我们将从图形出发,去讨论柱面的方程.

1〉、定义：在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面。定方向叫柱面的方向，定曲线叫准线，平行直线中的每一条都叫母线。（都叫准线，因它们与所有母线都相交，不唯一。）

由此定义，不难得到如下事实：

1、柱面的准线不具有唯一性，即凡是在柱面上且与每一条母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线。

2、 柱面具有比较明显的几何特征：即柱面是过准线且与柱面方向平行的一族动直线的集合，因此，柱面是由它的准线与母线的方向完全决定。

2〉、方程的求法：①生成规律：生成柱面的母线族也可看作由一条动母线运动生成，运动时，它保持与定方向平行且与母线相交，生成整个母线族，从而形成曲面。而它运动的起因，又可看作是由它与的交点M₁的变化而引起的，当M₁，跑遍了上的所有点时，带动变动生成母线族，形成曲面，（两大要素、方向、准线）。（M₁变变生成母线族）。

②求方程的步骤：

1、写出过柱面准线Г:

上任意一点的母线的方程

, （1）

其中X、Y、Z是已知的定方向，即母线的方向。

2、写出参数的约束条件（让跑遍，带动变动）

（2）

3、由（1）、（2）消去参数得,即为所求的柱面方程。

例1 柱面的准线方程为

而母线的方向数是-1、0、1，求这柱面的方程。

[分析]由于题中条件与建立柱面方程常用方法的条件一致，由常用方法易建立柱面方程，具体过程略，但这里须注意如何消去参数的方法。

得

例2 已知圆柱面的轴为，点（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。

[分析] 此题中所求柱面的准线和方向尚不明显，应先求出其准线和方向。由于所求圆柱面的母线平行于轴，故轴的方向即为圆柱面的方向，而准线可取作过轴上的点以（0，1，-1）为中心，点（0，1，-1）到点（1，-2，1）的距离为半径的球面与过已知点（1，-2，1）且垂直于轴的平面的交线。

解法一：已知圆柱面轴上一已知点，方向矢，如能求出一条准线（圆）的方程，就可用常规解法。

过已知点P（1，-2，1）的圆可看作以为心，为半径的球与过P且垂直于轴的平面之交线，故准线圆：

设为准线上任一点，则过的母线为 消，得.

解法二，特殊解法：由圆柱面的特殊性，将其看成是到轴线等距离的动点轨迹，设是圆柱面上任一点，则有

结论（此处比课本简捷）.

3）、特殊柱面：

下面讨论母线平行于坐标轴的柱面.

方程在平面上，表一直线，在空间，它表示一曲面，若面上的满足的方程，则也满足方程（1），而轴，故曲面可认为是由这样一些与轴平行的直线形成的，故（1）表母线平行于轴的柱面。

画图4-1，4-2，4-3，并指明其特点。

一般地，在空间解析几何中，不合z而仅含x,y的方程表示一个母线平行于z轴的柱面．同理，不含x而仅含y，z的方程表示母线平行x轴的柱面；不含y而仅含x,z的方程表示母线平行于y轴的柱面．

例如，方程，表示的是母线平行于z轴的圆柱面的方程。

又如，表示母线平行于z轴的柱面，xoy坐标面上的抛物线是它的一条准线．这个柱面称为抛物柱面。

常见的母线平行于z轴的柱面还有：

椭圆柱面: ；

双曲柱面 .

总结：柱面是解析几何一类重要的特殊曲面，因此要求掌握求柱面方程的一般方法与步骤，对于圆柱面，除一般方法外，还能根据圆柱面的几何特征采取特殊方法求方程，即须明白，并不一定要先求得柱面的准线才能求方程，此外，通过方程也能认识曲面的大致形状。

说明：柱面方程除上方法外，随后面旋转曲面的学习，我们还将看到柱面方程还可利用旋转曲面的知识及一元二次方程的判别式等进行求解。

思考题：

1、已知柱面方向是1:0:1,母线是曲面的切线，求其方程。

2、请写出以曲线

L：x=x(u),y=y(u),z=z(u) (a≤u≤b)

为准线，X:Y:Z为方向的柱面的参数方程，并证明。

本章 具有较为突出几何特征的曲面（前三种）：从图形出发，讨论（建立）

曲面方程。

内容 方程具有简单形式的曲面（五种二次曲面）：从方程出发去研究曲面的图形（内部结构和生成规律）。

课P147，4 证：设为柱面上任一点，过的母线交准线于点，令，则，当取遍上所有点，即时，动母线形成整个母线族，从而生成曲面，故柱面的矢量式参数方程为：坐标式

作业P147 1、2、9

第4.2节 锥面（2学时）

一、教学要求：

（1）理解锥面的生成规律。

（2）掌握锥面方程的常规求法与主要步骤。

（3）掌握圆锥面方程的特殊求法。

二、讲授内容：

1）、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的直线所产生的曲面叫锥面。

定曲线叫准线（不唯一），那族直线叫母线，定点A叫顶点

▲ 特点：锥面上任一点与顶点的连线都在锥面上。

2）、方程的求法：①生成规律；生成锥面的母线族，也可看作由一条动母线运动生成。运动时，它保持过定点A且与曲线相交，生成整个母线族，从而形成曲面，而它运动的起因，又可看作是由它与的交点M₁的变化而引起的，当M₁跑遍了上的所有点时，带动变动生成母线族，形成曲面。（两大要素：顶点；准线）

②求方程的步骤：

1、写出母线方程：设锥面的准线方程为

Г: （1）

顶点为A（、y₀、）,又设为准线上任一点，则过M₁的母线的方程为,

2、写出约束条件（让跑遍，带动变动）

（3）

3、由（1）、（2）消去参数得,即为所求的锥面方程。

例1（二次锥面）：锥面的顶点在原点，且准线为

求锥面方程。

解：同（1）、（2）（3）方程为（二次齐次方程）.

例2已知圆锥面的顶点为（1，2，3），轴垂直于平面，母线与轴线成角，试求这圆锥的方程。

解：设为圆锥面上任一点，则M满足的是过的母线与轴组成角，过M的母线方向矢，平面法向量

这是一个关于

（▲一般方法：求A到的距离AC，则可在Rt中，求出，故准线圆可求）