第五章 二次曲线的一般理论（8学时）

第一节 二次曲线与直线的相关位置（2学时）

一、教学要求：

（1）了解复平面的特征。

（2）理解二次曲线方程中的有关记号。

（3）掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。

二、讲授内容：

在平面上，由二元二次方程

所表示的曲线，叫做二次曲线，其中不全为零.

在本章，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线方程的化简，对二次曲线进行分类. 我们将从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开一般二次曲线的几何理论的研究，讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线等重要概念与它们的性质，讨论一般二次曲线方程的化简与判别，给出二次曲线按不同角度的分类.

预备知识

一、 复元素

1.复点：当平面上建立了笛卡尔坐标系之后，一对有序实数就表示平面上的一个点，如果中至少有一个是虚数，我们把它叫做平面上的虚点，而叫做这一虚点的坐标，相应地把坐标是一对实数的点叫做平面上的实点. 如果两个虚点的对应坐标是共轭复数，那么这两点叫做一对共轭虚点，实点与虚点统称为复点.

2.复矢量：设与为平面上的两复点, 那么我们称

为以为起点，为终点的复矢量，记做，如果与中至少有一个虚数时，我们把它叫做虚矢量.如果点的坐标满足表达式，，

其中为复数，我们就说分成定比，特殊地把点叫做的中点.

3.复直线：方程叫做由两点与决定的直线的参数方程，式中t为参数，它可为任意的复数.消去参数t得

, 称为直线的一般式方程，如果A, B, C与三个实数成比例，则直线称为实直线，否则称为虚直线.

二、 有关记号

,

,

,

,

,

从而,

把的系数所排成的矩阵

叫做的矩阵，把的系数所排成的矩阵

叫做的矩阵.

约定符号：

，，，

.

现在讨论二次曲线

（1）

与过点且具有方向:的直线

（2）

的交点.把（2）代入（1）,经过整理得关于的方程

（3）

利用前面的记号,（3）可写为

（4）

方程（3）或（4）可以分以下情况讨论：

1. .这时（4）是关于的二次方程,它的判别式为

这又可分三种情况：

（1）.方程（4）有两个不等的实根与,代入（2）便得直线与二次曲线（1）的两个不同的实交点.

（2）.方程（4）有两个相等的实根与,这时直线（2）与二次曲线（1）有两个相互重合的实交点.

（3）.方程（4）有两个共轭的虚根, 这时直线（2）与二次曲线（1）交于两个共轭的虚点.

2. ,这又可分三种情况：

（1）.这时（4）是关于的一次方程,它有唯一的一个实根,所以直线（2）与二次曲线（1）有唯一的实交点.

（2）,而.这时（4）为矛盾方程, 方程（4）无解, 所以直线（2）与二次曲线（1）没有交点.

（3），.这时（4）成为一个恒等式,它能被任何值的所满足, 所以直线（2）上的一切点都是（1）与（2）的公共点,也就是说直线（2）全部在二次曲线上.

第二节 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线（2学时）

一、教学要求：

（1）理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念。

（2）掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法。

（3）掌握根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类的方法。

二、讲授内容：

1.二次曲线的渐近方向

在第一节中看到二次曲线

（1）

和具有方向:的直线

（2）

当满足条件

, （3）

时,或者只有唯一的实交点, 或者没有交点, 或者直线（2）全部在二次曲线上,成为二次曲线的组成部分.

定义5.2.1 满足条件的方向:叫做二次曲线（1）的渐近方向,否则叫做非渐近方向.

因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零,所以渐近方向:所满足的（3）总有确定的解.

如果,那么把（3）改写为

,

得；

如果,那么把（3）改写为

,

得；

如果,那么一定有,这时（3）变为,

所以:1:0或0:1,

这时.

从上可看到,当且仅当时, 二次曲线（1）的渐近方向是一对共轭的虚方向；时, 二次曲线（1）有一个实渐近方向；时, 二次曲线（1）有两个实渐近方向.因此二次曲线（1）的渐近方向最多有两个,显然二次曲线（1）的非渐近方向有无数多个.

定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的, 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的, 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.

因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三种类型,即

1）椭圆型曲线：；

2）抛物型曲线：；

3）双曲型曲线：.

2. 二次曲线的中心与渐近线

在第一节中又看到,当（2）的方向:为二次曲线（1）的非渐近方向时,即当 时, 直线（2）与二次曲线（1）总交于两个点（两不同实的,两重合实的或一对共轭虚的）.我们把这两点决定的线段叫做二次曲线的弦.

定义5.2.3 如果点是二次曲线的通过它的所有弦的中点（因而是二次曲线的对称中心）,那么点叫做二次曲线的中心.

根据这个定义,当点为二次曲线（1）的中心时,那么过以（1）的任意非渐近方向:为方向的直线（2）与二次曲线（1）交于两点，,点就是弦的中点.因此将（1）代人（2）得

有 （由中点坐标得）,

即 . （4）

因为:为任意非渐近方向,所以（4）式是关于，