典型例题

一、 矢量的运算

例 试证明：点在线段上的充要条件是：存在非负实数，，使得，且，其中是任意取定的一点。

证明：（先证必要性）设在线段上，则与同向，且，

所以 ， 。任取一点所以

所以，，取，，则，，。

（必要性）若对任一点有非负实数，，使得，且，

则

所以与共线，即在直线上。又，所以在线段上。

例 证明三角形的三条高线交于一点。

证明：如图，设的两条高线交于点，连结。

延长交于，则为边上的高。即三条高线交于一点。

例 已知三点，求并且求在上的射影。

解：

。

射影。

例 证明矢量与相互垂直。

证明：.

例 已知空间三点，试求（1）的面积。（2）的边上的高。

解：

的面积为。

又的边上的高为。

例 若，且说明其几何意义。

证明：

。同理可证明 。

二、 矢量的线性关系

例 设为两不共线矢量，证明，共线的充要条件是。

证明：共线线性相关，即存在不全为0的实数，使得，

即。

又因为不共线线性无关有唯一零解。

三、标架与坐标

例 对于平行四边形，求在仿射标架中的坐标。

解：作图如下

。

例 用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。

（略）

四、 平面

例 求过M₁（2，-1，1）与M₂（3，-2，1），且平行于z轴的平面的方程。

解：设平行于z轴的方程为

过（2，-1，1），（3，-2，1）点，

∴

∴所求平面方程为。

例 把平面的方程化为法式方程，求自原点指向平面的单位法矢量及其方向余弦，并求原点到平面的距离。

解 因为

所以取法式化因子

将已知的一般方程乘上，即得法式方程：

原点指向平面的单位法矢量为它的方向余弦为

原点到平面的距离为。

五、直线

例1 化直线的一般方程

为标准方程.

解法一 因为的系数行列式，所以可由原方程组分别消去和，得直线的射影式方程为：

所以直线的标准方程为

解法二 因为直线的方向数为

——（找方向）

再设。解得，那么为直线上的一点，所

以直线的标准方程为

.

例2 过直线l向三坐标面所引的三个射影平面。

解：消去变量y，得直线在xoz上的射影平面：9x-z+7=0。

消去变量x，得直线在yoz上的射影平面：36y-11z+23=0。

消去变量z，得直线在xoy上的射影平面：11x-4y+6=0。

六、 平面、直线和点之间的位置

例1求通过点且与两直线

都相交的直线的方程。

解：设所求直线的方向矢为,那么所求直线的方程可写成：

因为与都相交，而且过点