二维双曲空间三种模型的度量诱导关系

梁 林

（楚雄师范学院数学系，云南 楚雄675000）

摘 要：文章主要研究并给出二维双曲空间三种模型的度量诱导关系。

关键词：双曲空间 度量诱导关系

双曲空间是微分几何学中一类重要的常曲率空间形式，特别双曲空间三种模型的度量诱导关系是研究双曲几何的基础，但是双曲空间三种模型的度量诱导关系现有文献没有给出一个清晰的描述，为方便进一步研究双曲空间，本文将给出二维双曲空间三种空间模型的度量诱导关系。

一、引 言

在二维双曲空间中，

记双叶双曲面上支为二维双曲空间的模型Ⅰ,其中<，>表Lorentz内积。

记单位圆盘为二维双曲空间的模型Ⅱ。

记上半平面为二维双曲空间的模型Ⅲ。

二、主要结果

定理1：上的度量是中的Lorentz度量在上诱导的一个正定的Rieman度量.

作者简介：梁林（1968---）男，云南景东人，副教授，从事于微分几何方向的研究。

证明：设，为P在中的位置度量，对,,c(t)=(c,c,c)为过P且以X为切矢量的中的曲线，令=x(p)，,且,在中，则，对此式作用后得<x(p),X>=0，即，将<,>限制在上，则有

<X,X>=

又<X,X>=

因此，由弧长公式，得上的度量为。

定理2：的度量是上诱导的一个正定的Rieman度量。

证明：建立球极投影，使上的点与南极相连并交于圆盘于点，Q如图，过P作PM轴于M，连OQ得OQ∥PM，从而，于是

(1)

由Lorentz内积定义，

<x,x>= (2)

代入(1) 得

(3)

又设和的相似比为，由定比分点公式，则有

于是

( (4)

将(3)代入(4)，得

( (5)

特别，对于，由(3)解之得

(6)

将(5) 、(6)代入的度量，得

此即为上由诱导的度量。

定理3：上半平面的度量是

证明：设线性变换，使上半平面上的点变成单位圆盘中的点，由于线性变换保交比，故有

即且>0，此即为上半平面保形到单位圆盘<1的线性变换。

对求导后得

所以

由令z=x+yi，则，故

又

于是

此即为上由诱导的度量。

综合上述，二维双曲空间的三种模型的度量诱导关系为：

（，）；（，） （ ，）

参 考 文 献：

梁林 双曲空间的三种模型及其等距转化关系，云南师范大学学报（自然科学版）2001.11（6）：1~8。

陈维恒。微分几何初步。北京：北京大学出版社。67~75。

The relaticnships between the measure of three models of two dimensional hyperbdic space

Liang lin

(chu xiong normal university, yunnan , chuxiong 675000)

：in this paper，we obtained the relationships and results between the measure of three models of two dimensional hyperbolic space

：Hyperbolic space Measure relationships